Question

设A为m×n矩阵,证明AX=Em有解的充要条件是R(A)=m

问题1首先正推 为什么R(Em) = m 所以 m>=R(A|Em)>=m ，这边是为什么？用的什么定理？问题2 反过来推 是因为RA等于行满秩，所以任一m维列向量都可由A的列向量组线性表示，特别地有: Em的列向量都可由A的列向量组线性表示，这边在做题写证明的时候要怎么写谢谢

Answer 1

做矩阵的列分块，令

X＝（x1，x2，…，xm）

Em＝（e1，e2，…，em）

则AX＝Em转化为

A（x1，x2，…，xm）＝（e1，e2，…，em）

所以问题等价于线性方程组

Ax1＝e1，Ax2＝e2，…，Axm＝em

有解的充要条件。

而这每个线性方程组有解的充要条件就是

R（A）＝m。

扩展资料：

对有解方程组求解，并决定解的结构。这几个问题均得到完满解决：所给方程组有解，则秩(A）=秩（增广矩阵）；若秩(A）=秩=r，则r=n时，有唯一解；r<n时，有无穷多解；可用消元法求解。

当非齐次线性方程组有解时，解唯一的充要条件是对应的齐次线性方程组只有零解；解无穷多的充要条件是对应齐次线性方程组有非零解。但反之当非齐次线性方程组的导出组仅有零解和有非零解时，不一定原方程组有唯一解或无穷解，事实上，此时方程组不一定有 ，即不一定有解。

Answer 2

充分性：当r(A)=m时,则A是行满秩的,A多添任一列向量组成的增光矩阵还是行满秩的,即有r(A ei)=m,其中ei是单位阵的第i列,于是方程Ax＝ei有解bi,令X＝【b1 b2 ...bm】,则AX＝E.
必要性：若AX=E有解,则m＝r(Em)=r(AX)

Answer 3

证明: 必要性:
因为AX=Em有解
所以Em的列向量组可由A的列向量组线性表示
所以 m = r(Em) = Em的列秩 <= A的列秩 = r(A)
即 r(A) >= m
而 A 只有m行, 所以 r(A)<=m
故 r(A)=m.

充分性:
因为 r(A)=m
所以A的列秩 = m
所以任一m维列向量都可由A的列向量组线性表示
特别地有: Em的列向量都可由A的列向量组线性表示
故存在矩阵X, 满足 Em = AX.
即 AX=Em 有解 #