Question

某班级为准备元旦联欢会，欲购买价格分别为2元、4元、10元的三中奖品，每种奖品至少购买一件，共买16件

某班级为准备元旦联欢会，欲购买价格分别为2元、4元、10元的三中奖品，每种奖品至少购买一件，共买16件，恰好用50元。若2元的奖品购买a件。
⑴用含a的代数式表示另外两种奖品的件数；
⑵请你设计购买方案，并说明理由。

Answer 1

解：
(1)设价格为4元、10元的奖品分别购买b件、c件。依题意可以列出：
2a+4b+10c=50----[1]
a+b+c=16--------[2]
由[1]可得 c=16-a-b-----[3]
将[3]代入[1]中可得 b=55/3-4a/3
同理可得 c=a/3-7/3

(2)因为每件礼物至少一件，所以有：
a≥1
b≥1
c≥1
即 a≥1
b=55/3-4a/3b≥1
c=a/3-7/3≥1
由以上三个不等式得出：10≤a≤13
因为a为整数，所以a=10,11,12,13
当a=10时，b=5，c=1
当a=11时，b和c为非整数（不可取）
当a=12时，b和c为非整数（不可取）
当a=13时，b=1，c=2
综上所述，购买方案为两种
第一种：三种奖品分别购买10、5、1件；
第二种：三种奖品分别购买13、1、2件。

Answer 2

解：（1）设三种奖品各a，b，c件
则a≥1，b≥1，c≥1
a+b+c=162a+4b+10c=50​，
解方程组得：
b=55-4a3．
c=a-73．

（2）因为b≥1，b=55-4a3，
所以55-4a≥3，解得a≤13，
因为c≥1，c=a-73，
所以a-7≥3，a≥10，
解得，10≤a≤13，
当a=10时，b和c有整数解，则a=10，b=5，c=1；
当a=13时，b和c有整数解，则a=13，b=1，c=2．