Question

f(x+y)=f(x)+f(y) 证明奇函数 最简单的做法，不是那种设X=-Y的做法哦

X和Y都属于R。 证明这种函数为奇函数。 那种设X=-Y的方法我已经知道。 老师上课还说了一种更简单的方法，貌似是直接把式子变形，我没听懂。求解。。

Answer 1

f(x)=f[(x+y)-y]=f[(x+y)+(-y)]=f(x+y)+f(-y) ①
又因为f(x+y)=f(x)+f(y),即f(x)=f(x+y)-f(y) ②
①-②的f(y)+f(-y)=0
所以f(x)为奇函数

Answer 2

令x=0,y=0
有 f(0+0)=f(0)+f(0)
所以f(0)=0
令y=-x，代入得
f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0
f(-x)=-f(x) (奇函数定义公式)
所以f(x)是奇函数
这已经很简单，还能再简单吗。。。。

Answer 3

令x=0,y=0
有 f(0+0)=f(0)+f(0)
所以f(0)=0
令y=-x，代入得
f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0
f(-x)=-f(x) (奇函数定义公式)
所以f(x)是奇函数

Answer 4

f(x+y)=f(x)+f(y) f(x)=kx 正比例函数 奇函数