Question

函数的一道题 求解 ！！！

已知2次函数f(x)=ax2+bx对任意x属于R均有f(x-4)=f(2-x)成立，且函数的图像过点
A（1，3/2）。
（1） 求函数y=f(x)的解析式；
（2） 若不等式f(x-t)≤x的解集为〔4，m〕，求实数t、m的值。

Answer 1

（1）
f（x-4）=a（x-4）²+b（x-4）=ax²-8ax+16a+bx-4b=ax²+（b-8a）x+16a-4b
f（2-x）=a（2-x）²+b（2-x）=ax²-4ax+4a+2b-bx =ax²-（4a+b）x+4a+2b
则 b-8a=-4a-b → 4a=2b → 2a=b ①
16a-4b=4a+2b → 12a=6b → 2a=b ②
把A（1，3/2）带入函数f(x)=ax²+bx，得 a+b=3/2 ③
根据①②③，解得 a=1/2 b=1
函数y=f(x)的解析式为f（x）=1/2x²+x
（2）
f(x-t)≤x
1/2（x-t）²+（x-t）≤x
1/2x²-tx+1/2t²+x-t≤x
1/2x²-tx+1/2t²-t≤0
根据题意可得 1/2*4²-4t+1/2t²+4-t=0 → 1/2t²-5t+8=0 → t²-10t+16=0 ①
1/2*m²-mt+1/2t²-t=0 → m²-2mt+t²-2t=0 ②
解①，（t-2）（t-8）=0，则t=2或8
把t=2带入②得， m²-4m=0 → m（m-4）=0 → m=4或0，都不符合要求，故舍去。
把t=8带入②得， m²-16m+48=0 → （m-12）（m-4）=0 → m=4或12，舍去4。

所以 t=8,m=12.

Answer 2

（1）由对任意x∈R,均有f(x-4)=f(2-x)可知f(x)关于x=3对称,因此f(x)=ax2+bx对称轴x=-b/(2a)=3，有b=-6a
由函数f(x)的图像与y=x相切得ax2+bx=x有两相等实根，即化为x[ax+(b-1)]=0,x=-(b-1)/a=0,则b=1
所以a=-1/6,b=1,则f(x)=-1/6*x2+x
（2）f(x-t)≤x恒成立，则化为1/6*（x-t）^2+t>=0在x∈[4，m]（m＞4）时恒成立，令F(x)=1/6*（x-t）^2+t，分为以下三类：
（i）t<=4时，F(x)min=F(4)>=0恒成立,求出t的范围
（ii）t>=m时，F(x)min=F(m)>=0恒成立，求出t和m的范围
(iii)4<t<m时，F(x)min=F(t)>=0恒成立,求出t和m的范围

Answer 3

解：∵任意x属于R均有f(x-4)=f(2-x)成立
∴对称轴x=-b/(2a)=2-4=-2
b=4a
∵过点A（1，3/2）
∴a+b=3/2
5a=3/2
a=3/10
y=f(x)的解析式：y=(3/10)x^2+(6/5)x

f(x-t)≤x
(3/10)*(x-t)^2+(6/5)*(x-t)≤x
3(x^2-2tx+t^2)+12(x-t)-10x≤0
3x^2-(6t-2)x+3t^2-12t≤0
∵解集为〔4，m〕
∴(6t-2)/3=4+m
(3t^2-12t)/3=4m
6t--3m=14
t^2-4t-4m=0
m=(6t-14)/3
3t^2-12t-24t+56=0
3t^2-36t+56=0
t>0，t=
m=
思路就是这样的，后面这一步你自己解一下吧。