Question

一个关于特征值的问题

已知一个矩阵A的特征值，怎么求A^3-2A^2+3E的特征值,我想要一般性的结论，λ^3-λ^2+3为所求的特征值是什么得出来的？

Answer 1

我们先来证明 一个简单的：
设λ是方阵A的特征值，则λ²是A²的特征值。
证明：因λ是方阵A的特征值，故有p≠0使Ap=λp，于是
A²p=A(Ap)=A(λp)=λ(Ap)=λ²p，所以λ²是A²的特征值。
同理可以证明若λ是方阵A的特征值，则λ³是A³的特征值，λ^3-λ^2+3是A^3-2A^2+3E的特征值
更一般的结论就是：若λ是方阵A的特征值，则多项式f(λ)是f(A)的特征值。