Question

设A为n阶正定矩阵，a1,a2....am为n维非零列向量，且ai^TAaj=0(i≠j)，证明：

设A为n阶正定矩阵，a1,a2....am为n维非零列向量，且ai^TAaj=0(i≠j)，证明：a1,a2....am线性无关(大学线代)

Answer 1

设∑ki*ai=0(对i求和），则(∑ki*ai)^TAaj=0（j=1,2,...,m），即kj*(aj^TAaj)=0,（j=1,2,...,m）；
而A正定，所以aj^TAaj>0，从而kj=0（j=1,2,...,m），所以a1,a2....am线性无关。

追问

非常感谢*^_^*

追答

这个问题本质是：
a^TAb可以定义一个内积(a,b)；条件ai^TAaj=0(i≠j)即为两两正交。