Question

高三数学难题-

正三角形ABC的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点D是线段BC的中点，过D作球O的截面，则截面面积的最小值为_____

Answer 1

正三角形ABC所在平面可与球截得一个圆形，并且是正三角形的外接圆
过O，作平面ABC垂线，交于P.
∵ OP ⊥ 正三角形ABC, OA=OB=OC
∴ PA = PB = PC
∴ P是外接圆的圆心，正三角形的外接圆称为圆P
∵ 三角形APO是直角三角形
∴ 圆P的半径是 根号(2^2 - 1^2) = 根号3
∵ 圆P是ABC的外接圆
∴ 正三角形ABC的边长= 2 * 根号3 * cos 30 (中线/角平分线/高重合) = 3
∵ OP ⊥ 正三角形ABC
∴ OP ⊥ BC
∵ AD ⊥ BC
∴ BC ⊥ 平面OPD
∴ OD ⊥ BC
∴ 截面最小的圆，以BC为直径
∴ 圆面积 = pi * (l / 2) ^ 2 = 9 * pi / 4

追问

还是没搞懂为何截面最小的圆是以BC为直径的

追答

按题意要求，
截面最小的圆，应该过O点，并且与OD垂直，所以BC是所截圆的直径。

追问

为何要过O点

追答

写错了，是D点。
截面最小的圆，应该过D点，并且与OD垂直

原因是，
球内截面都是圆形，
假设该截面到球心距离为h
圆的半径为 根号 (球半径 平方 - h 平方)
所以, h 越大，截圆面积越小。

过D的所有截面中，与O点距离最远的截面应该与OD垂直。

所以 截面最小的圆，应该过D点，并且与OD垂直
此时，BC是所截圆的直径。

Answer 2

凤飞飞反反复复反反复复反复烦烦烦烦烦福福福福福福福福福发