Question

函数f（x）＝1－2a－2a cosx－2sin²x的最小值为g（a）（a∈R） （1）求g（a）

函数f（x）＝1－2a－2a cosx－2sin²x的最小值为g（a）（a∈R）
（1）求g（a）的表达式
（2）若g（a）＝½求a的值及此时f（x）最大值

Answer 1

(1).f(x)=1-2a-2acosx-2(1-cos²x)
=1-2a-2acosx-2+2cos²x
=2(cosx-a/2)²-a²/2-2a-1
∵a∈R
∴则当cosx=a/2时f(x)min=-a²/2-2a-1
即g(a)=-a²/2-2a-1
(2).g(a)=-a²/2-2a-1=1/2
∴a²+4a+3=0
(a+1)(a+3)=0
∴a=-1或-3
当a=-1时,f(x)=2(cosx+1/2)²+1/2
∵cosx∈[-1,1]
∴当cosx=1时,f(x)max=5
当a=-3时,f(x)=2(cosx+3/2)²+1/2
∵cosx∈[-1,1]
∴当cosx=1时,f(x)max=13

Answer 2

解：（1）当a=1时，f（x）=-2sin2x-2cosx-1
=-2（1-cos2x）-2cosx-1
=2cos2x-2cosx-3
=2(cosx-12)2-72，
∵-1≤cosx≤1．
∴当cosx=12时，ymin=-72，
即当a=1时，g（a）=-72；
（2）由f（x）=1-2a-2acosx-2sin2x
=1-2a-2acosx-2（1-cos2x）
=2cos2x-2acosx-（2a+1）
=2(cosx-a2)2-a22-2a-1，这里-1≤cosx≤1．
①若-1≤a2≤1，则当cosx=a2时，f（x）min=-a22-2a-1；
②若 a2＞1，则当cosx=1时，f（x）min=1-4a；
③若 a2＜-1，则当cosx=-1时，f（x）min=1．
因此g（a）={1，a＜-2-a22-a-1，-2≤a≤21-4a，a＞2．
（2）∵g（a）=12．
∴①若a＞2，则有1-4a=12，得a=18，矛盾；
②若-2≤a≤2，则有-a22-2a-1=12，即a2+4a+3=0，
∴a=-1或a=-3（舍）．
∴g（a）=12时，a=-1．
此时f（x）=2（cosx+12）2+12，
当cosx=1时，f（x）取得最大值为5．