Question

设集合A=｛1，2，3，4，5，6，7，8，9，10｝求A的所有非空子集元素的和

Answer 1

换一个角度来考虑这个问题：

包含元素1的非空子集B有多少个呢？
可以包含元素2或是不包含2
可以包含元素3或是不包含3
....
可以包含元素10或是不包含元素10

B的个数总共有2×2×2...×2 = 2的9次方个
那么，把A的所有非空子集的元素加起来的时候，1这个元素被加了2的9次方次。1对总和的贡献为1×2^9

同理，包含元素2的非空子集B：
可以包含1或不包含；包含3或不包含......
同理，2这个元素被加了2的9次方次，贡献：2×2^9

同理推3,4,...10

所以所有非空子集的元素的总和为：
1×2^9 + 2×2^9 + ... + 10×2^9
=(1+2+...+10) × 2^9
=(1+10)*10/2 × 2^9
= 55×2^9
= 55×512
= 28160
这样可以么？

Answer 2

{1,2,3,4……，10}子集有1的和有2^9个
{2,3,4……，10}子集有2的和为2^9个
所以{1,2,3,4……，10}的子集有3的和也为2^9个
同理推导到其他数每个元素出现了2的9次方次
所以和=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)*2^9
=55*2^9
=28160

Answer 3

觉得楼上的方法很好,但是他最开始的突破口有点麻烦~他是利用求概率求的.
这个我觉得可以反向思维,首先没有1的集合一共是2^9次方(去掉1这个元素,只有9个元素了),则有1的集合是2^9.
那么有2,3,4……10的集合个数都是2^9,
所以元素值的和为
(1+2+3……+10)*2^9
=55*2^9

Answer 4

在1个元素的子集中，每个元素各用到C(9,0)次；
在2个元素的子集中，每个元素各用到C(9,1)次；
在3个元素的子集中，每个元素各用到C(9,2)次；
在4个元素的子集中，每个元素各用到C(9,3)次；
在5个元素的子集中，每个元素各用到C(9,4)次；
............
在9个元素的子集中，每个元素各用到C(9,8)次；
在10个元素的子集中，每个元素各用到C(9,9)次；
所以所求的的和
＝(1+2+3+...+10)[C(9,0)+C(9,1)+...+C(9,9)]
=55×2^9
=28160.