Question

求微分方程 xy"=(y')+2xy'的通解

Answer 1

y'-2xy=xy²,则y'=xy²+2xy=xy(y+2).所以dy/[y(y+2)]=xdx
又1/[y(y+2)]=(1/2){(1/y)-[1(y+2)]},
所以(1/2){(1/y)-[1(y+2)]}dy=xdx,两边积分，得
(1/2) [lny-ln(y+2)] = x²/2 +C ,(C为任意常数)
故(1/2) ln[y/(y+2)]=x²/2 +C ,(C为任意常数)。
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(经验证，答案正确。)
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Answer 2

令p=y'
则y"=p'
代入方程：xp'=p+2xp
dp/p=(1+2x)dx/x
积分：ln|p|=ln|x|+2x+C1
即p=Cxe^(2x)
dy=Cxe^(2x)dx
积分：y=C∫xe^(2x)dx=C[x*0.5e^2x-∫0.5e^2xdx]
=C[0.5xe^2x-0.25e^2x]+C2
=C1(2x-1)e^(2x)+C2