Question

一道数学函数题目 主要是第2问和第4问不会。1和3都会

已知f(x)=a^x+a^-x
(1)求证：函数图象关于Y轴对称
（2）若f(2x)=10/3。求X
(3)判断函数f(x)在（0，+∞）的单调性
（4）若f(x)大于等于b对一切实数x都成立，求实数b的取值集合

Answer 1

1、由于f(x)=a^x+a^-x
得出f(-x)=a^-x+a^x=a^x+a^-x=f(x)
从而证得函数图象关于Y轴对称
2、f(2x)=a^（2x）+a^（-2x）=（a^x+a^-x）^2-2
又f(2x)=10/3，得a^x+a^-x=4√3/3
即（a^x）^2-4√3/3a^x+1=0，
解得：a^x=√3或a^x=√3/3
x=loga(√3)或x=-loga(√3)
3、f'(x)=（a^x-a^-x）lna
a≫1时，lna≫0，a^x-a^-x=[（a^x)^2-1]/a^x
显然，当a^x≫1时，即x≫0时，f'(x)≫0，
当a^x≪1时，即x≪0时，f'(x)≪0
由此可知，a>1时，函数f(x)在（0，+∞）的单调性为单调递增
同理,0<a<1时，函数f(x)在（0，+∞）的单调性为单调递减
4、若f(x)大于等于b对一切实数x都成立，只需求出f(x)的最小值即可
由于f(x)=a^x+a^-x≫2√a^xa^-x=2，当x=0时取到等号，
得出b≪2
(此处也可以由第三步得出，只不过要考虑在（-∞，+∞）的单调性，也很容易想到的）

Answer 2

第二问，a^x=1/a^-x,所以，设a^2x=k,那么k+1/k=10/3,得到k=3或者1/3
剩下的 你知道怎么解的
第四问，a^x>0,那么我们知道f（x）=k+1/k ，k>0,所以f(x)大于等于2，b必定是（负无穷，2）

Answer 3

已知f(x)=a^x+a^-x
(1)求证：函数图象关于Y轴对称
（2）若f(2x)=10/3。求X
(3)判断函数f(x)在（0，+∞）的单调性
（4）若f(x)大于等于b对一切实数x都成立，求实数b的取值集合