Question

已知抛物线y=x²+bx+c的顶点为P，与Y轴交于点A，与直线OP交于点B。 （1）如图一，点P

的横坐标为1，点B的坐标为（3,6），是确定抛物线的解析式。（2）在（1）的条件下，若点M是直线AB下方抛物线上的一点，且S△ABM=3，求点M的坐标（3）如图2，点P在第一象限，且PA=PO,过点P作PD⊥x轴于点D。将抛物线y=x²+bx+c平移，平移后的抛物线经过点A，D,该抛物线与轴的另一个交点为C，请探究四边形OABC的形状，并说明理由。

Answer 1

（1）首先求出b的值，然后把b=-2及点B（3，6）的坐标代入抛物线解析式y=x2+bx+c求出c的值，抛物线的解析式即可求出；
（2）首先求出A点的坐标，进而求出直线AB的解析式，设直线AB下方抛物线上的点M坐标为（x，x2-2x+3），过M点作y轴的平行线交直线AB于点N，则N（x，x+3），根据三角形面积为3，求出x的值，M点的坐标即可求出；
（3）由PA=PO，OA=c，可得PD＝
c
2
，又知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为 P(−
b
2
，
4c−b2
4
)，即可求出b和c的关系，进而得到A（0，
1
2
b2），P（−
1
2
b，
1
4
b2），D（−
1
2
b，0），根据B点是直线与抛物线的交点，求出B点的坐标，由平移后的抛物线经过点A，可设平移后的抛物线解析式为y＝x2+mx+
1
2
b2，再求出b与m之间的关系，再求出C点的坐标，根据两对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合∠AOC=90°即可证明四边形OABC是矩形．

解答：解：（1）依题意，−
b
2×1
＝1，
解得b=-2．
将b=-2及点B（3，6）的坐标代入抛物线解析式y=x2+bx+c得6=32-2×3+c．
解得 c=3．
所以抛物线的解析式为y=x2-2x+3．

（2）∵抛物线y=x2-2x+3与y轴交于点A，
∴A（0，3）．
∵B（3，6），
可得直线AB的解析式为y=x+3．
设直线AB下方抛物线上的点M坐标为（x，x2-2x+3），过M点作y轴的平行线交直线AB于点N，则N（x，x+3）．（如图1）
∴S△ABM＝S△AMN+S△BMN＝
1
2
MN•|xB−xA|＝3．
∴
1
2
[x+3−(x2−2x+3)]×3＝3．
解得 x1=1，x2=2．
故点M的坐标为（1，2）或 （2，3）．

（3）如图2，由 PA=PO，OA=c，可得PD＝
c
2
．
∵抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为 P(−
b
2
，
4c−b2
4
)，
∴
4c−b2
4
＝
c
2
．
∴b2=2c．
∴抛物线y＝x2+bx+
1
2
b2，A（0，
1
2
b2），P（−
1
2
b，
1
4
b2），D（−
1
2
b，0）．
可得直线OP的解析式为y＝−
1
2
bx．
∵点B是抛物线y＝x2+bx+
1
2
b2与直线y＝−
1
2
bx的图象的交点，
令 −
1
2
bx＝x2+bx+
1
2
b2．
解得x1＝−b，x2＝−
b
2
．
可得点B的坐标为（-b，
1
2
b2）．
由平移后的抛物线经过点A，可设平移后的抛物线解析式为y＝x2+mx+
1
2
b2．
将点D（−
1
2
b，0）的坐标代入y＝x2+mx+
1
2
b2，得m＝
3
2
b．
则平移后的抛物线解析式为y＝x2+
3
2
bx+
1
2
b2．
令y=0，即x2+
3
2
bx+
1
2
b2＝0．
解得x1＝−b，x2＝−
1
2
b．
依题意，点C的坐标为（-b，0）．
则BC=
1
2
b2．
则BC=OA．
又∵BC∥OA，
∴四边形OABC是平行四边形．
∵∠AOC=90°，
∴四边形OABC是矩形．

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追问

PA=PO，OA=c，可得PD=c|2

为什么PA=PO，OA=c，可得PD=c|2