Question

如图所示，F为双曲线C： x 2 9 - y 2 16 =1 的左焦点，双曲线C上的点P i

如图所示，F为双曲线C： x 2 9 - y 2 16 =1 的左焦点，双曲线C上的点P i 与P 7-i （i=1，2，3）关于y轴对称，则|P 1 F|+|P 2 F|+|P 3 F|-|P 4 F|-|P 5 F|-|P 6 F|的值是______．

Answer 1

设右焦点为M， ∵双曲线C上的点P i 与P 7-i （i=1，2，3）关于y轴对称 即P 1 和P 6 ，P 2 和P 5 ，P 3 和P 4 分别关于y轴对称 ∴|FP 1 |=|MP 6 |，|FP 2 |=|MP 5 |，|FP 3 |=|MP 4 | ∴|P 1 F|+|P 2 F|+|P 3 F|-|P 4 F|-|P 5 F|-|P 6 F|=（|MP 6 |-|P 6 F|）+（|MP 5 |-|P 5 F|）+（|MP 4 |-|P 4 F|） 根据双曲线的第二定义可知 |MP 6 |-|P 6 F|=2a=6，|MP 5 |-|P 5 F|=2a=6，|MP 4 |-|P 4 F|=2a=6 ∴|P 1 F|+|P 2 F|+|P 3 F|-|P 4 F|-|P 5 F|-|P 6 F|=18 故答案为18．