Question

在极坐标系内，已知曲线C1的方程为ρ2-2ρ（cosθ-2sinθ）+4=0，以极点为原点，极轴方向为x正半轴方向，

在极坐标系内，已知曲线C1的方程为ρ2-2ρ（cosθ-2sinθ）+4=0，以极点为原点，极轴方向为x正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为5x＝1?4t5y＝18+3t（t为参数）．（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程以及曲线C2的普通方程；（Ⅱ）设点P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的两条切线，求这两条切线所成角余弦的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）对于曲线C₁的方程为ρ²-2ρ（cosθ-2sinθ）+4=0，
可化为直角坐标方程x²+y²-2x+4y+4=0，即（x-1）²+（y+2）²=1；
对于曲线C₂的参数方程为

5x＝1?4t 5y＝18+3t

（t为参数），
可化为普通方程3x+4y-15=0．
（Ⅱ）过圆心（1，-2）点作直线3x+4y-15=0的垂线，此时两切线成角θ最大，即余弦值最小．
则由点到直线的距离公式可知，d＝

|3×1+4×(?2)?15|

32+42

＝4，则sin

θ

2

＝

1

4

，
因此，cosθ＝1?2sin2

θ

2

＝

7

8

，
因此两条切线所成角的余弦值的最小值是

7

8

．