Question

已知函数f（x）=x3-ax2-3x，a∈R．（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求a的取值范围；（2）若f （

已知函数f（x）=x3-ax2-3x，a∈R．（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求a的取值范围；（2）若f （x）在区间 （-1，2）内存在两个极值点，求a的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=x³-ax²-3x，
∴f′（x）=3x²-2ax-3，
∵f（x）在[1，+∞）上是增函数，?
∴f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，?
即3x²-2ax-3≥0在[1，+∞）上恒成立．
则必有

a

3

≤1且f′（1）=-2a≥0，
∴a≤0，即实数a的取值范围是（-∞，0]；
（2）求导函数，可得f′（x）=3x²-2ax-3，
∵函数f（x）=x³+ax²+x在（-1，2）有两个极值点，
∴方程3x²-2ax-3=0在（-1，2）上有两个不等的根，
∴

△＞0 f′(?1)＞0 f′(2)＞0

即

4a2+36＞0 3+2a?3＞0 12?4a?3＞0

，
解得：0＜a＜

9

4

，
∴a的取值范围是（0，

9

4

）．