Question

已知函数f（x）=12+lnx，g（x）=12x2，（Ⅰ）若直线l与f（x）以及g（x）的图象相切于同一点，求l的方程；

已知函数f（x）=12+lnx，g（x）=12x2，（Ⅰ）若直线l与f（x）以及g（x）的图象相切于同一点，求l的方程；（Ⅱ）若对任意x1＞x2＞0，不等式i[g（x1）-g（x2）]＞x1f（x1）-x2f（x2）恒成立，求i的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）设共同的切点为P（a，b），（a＞0）
因为f′（x）=

1

x

，g′（x）=x
∴f′（a）=

1

a

=g′（a）=a，
∴a=1，
∴b=g（a）=

1

2

，
∴l的方程是2x-y-1=0
（II）若x₁＞x₂＞0，总有i[g（x₁）-g（x₂）]＞x₁f（x₁）-x₂f（x₂）成立，
即若x₁＞x₂＞0，总有ig（x₁）-x₁f（x₁）＞ig（x₂）-x₂f（x₂）成立，
即函数h（x）=ig（x）-xf（x）=

1

2

ix²-

1

2

x-xlnx，在（0，+∞）上为增函数，
即h′（x）=ix-lnx-

3

2

≥0在（0，+∞）上恒成立
即i≥

lnx+ 3 2

x

在（0，+∞）上恒成立
设G（x）=

lnx+ 3 2

x

在，则G′（x）=

?( 1 2 +lnx)

x2

∴G（x）在（0，

1

e

）上为增函数，在（

1

e

，+∞）上为减函数，
∴G（x）≤G（

1

e

）=

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