Question

已知函数f（x）=x4+ax3+x2（x∈R）（I）若a=-2，求f（x）的单调区间；（II）若f（x）仅在x=0处有极值，求

已知函数f（x）=x4+ax3+x2（x∈R）（I）若a=-2，求f（x）的单调区间；（II）若f（x）仅在x=0处有极值，求实数a的范围．

Answer 1

（I）当a=-2时，f（x）=x⁴-2x³+x²
f′（x）=4x³-6x²+2x，
令f′（x）＞0，即4x³-6x²+2x＞0，解得0＜x＜

1

2

，或x＞1
令f′（x）＜0，即4x³-6x²+2x＜0，解得x＜0，或

1

2

＜x＜1
∴f（x）的单调增区间为（0，

1

2

）和（1，+∞）
f（x）的单调减区间为（-∞，0），和（

1

2

，1）
（II）f′（x）=4x³+3ax²+2x，
令f′（x）=0，即4x³+3ax²+2x=0，化简得x（4x²+3ax+2）=0
∵f（x）仅在x=0处有极值，∴4x²+3ax+2＞0恒成立
∴△=9a²-32＜0
解得-

3 2

8

＜a＜

3 2

8

∴实数a的范围为（-

3 2

8

，

3 2

8

）