Question

在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且4sin2B+C2-cos2A=72．（1）求角A的大小；（2）若BC边上

在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且4sin2B+C2-cos2A=72．（1）求角A的大小；（2）若BC边上高为1，求△ABC面积的最小值？

Answer 1

（1）∵A+B+C=π，
∴sin

B+C

2

=sin

π?A

2

=cos

A

2

，
∵4sin²

B+C

2

-cos2A=

7

2

．
∴4cos²

A

2

-cos2A=

7

2

．
∴2（1+cosA）-（2cos²A-1）=

7

2

，
整理得（2cosA-1）²=0，
∴cosA=

1

2

，
∵0＜A＜π，
∴A=

π

3

．
（2）S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×

1

sinB

×

1

sinC

×

3

2

=

3

4sinBsinC

，
设y=4sinBsinC，
则y=4sinBsin（

2π

3

-B）=2

3

sinBcosB+2sin²B=

3

sin2B+1-cos2B=2sin（2B-

π

6

）+1，
∵0＜B＜

π

2

，0＜

2π

3

?B＜

π

2

，
∴

π

6

＜B＜

π

2

，

π

6

＜2B-

π

6

＜

5π

6

，
∴当2B-

π

6

=

π

2

，即B=

π

3

时，y有最大值为3，
∴此时S有最小值，为

3

3

．