Question

（2013?浦东新区一模）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点M在边BC上，且∠MDB=∠ADB，BD2=AD?

（2013?浦东新区一模）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点M在边BC上，且∠MDB=∠ADB，BD2=AD?BC．（1）求证：BM=CM；（2）作BE⊥DM，垂足为点E，并交CD于点F．求证：2AD?DM=DF?DC．

Answer 1

证明：（1）∵AD∥BC，AB⊥BC，∠MDB=∠ADB，
∴∠ADB=∠DBC=∠MDB，∠A=90°，
∴BM=DM，
又∵BD²=AD?BC，即

AD

BD

＝

BD

BC

，
∴△ADB∽△DBC，
∴∠BDC=∠A=90°，
∴∠C=∠MDC=90°-∠DBC，
∴DM=CM，
∴BM=CM，

（2）∵∠MDC+∠DFB=90°，
∴∠DFB=∠DBC，
∴Rt△DFB∽Rt△DBC，
∴

BD

DF

＝

DC

BD

，
∴DF?DC=BD²
∵BD²=AD?BC=AD?﹙2DM﹚=2AD?DM，
∴2AD?DM=DF?DC．