Question

求这个齐次方程的特解

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Answer 1

令y=xu
则y'=u+xu'
代入原方程得：
(x²u²-3x²)(u+xu')+2x²u=0
（u²-3)(u+xu')+2u=0
u(u²-3)+xu'(u²-3)+2u=0
xu'(u²-3)=(-u³+u)
du(u²-3)/[u(u²-1)]=-dx/x
du[a/u+b/(u+1)+c/(u-1)]=-dx/x
其中待定系数a,b,c 满足：
a(u+1)(u-1)+bu(u-1)+cu(u+1)=u²-3
令u=0, 得-a=-3, 得a=3
令u=1, 得2c=-2,得：c=-1
令u=-1,得2b=-2,得b=-1
故上式为：
du[3/u-1/(u+1)-1/(u-1)]=-dx/x
积分：3ln|u|-ln|u+1|-ln|u-1|=-ln|x|+C1
得：u³/(u²-1)=C/x
即y³/(y²-x²)=C
代入x=0, y=1,得：C=1
因此特解为y³/(y²-x²)=1
也即：y³=y²-x²