Question

如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H． （1）若∠BAC=30°，求证：CD平分OB．（2）若点E为

如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H． （1）若∠BAC=30°，求证：CD平分OB．（2）若点E为 的中点，连接0E，CE．求证：CE平分∠OCD．（3）若⊙O的半径为4，∠BAC=30°，则圆周上到直线AC距离为3的点有多少个？请说明理由．

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Answer 1

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2，理由见解析.

试题分析：（1）根据圆周角定理由AB为⊙O的直径得到∠ACB=90°，而∠BAC=30°，所以∠B=60°，于是可判断△OBC为等边三角形，根据等边三角形的性质由CD⊥OB易得CD平分OB； （2）由点E为 的中点，根据垂径定理的推论得OE⊥AB，则OE∥CD，根据平行线的性质得∠OEC=∠ECD，而∠OEC=∠OCE，所以∠OCE=∠ECD； （3）作OF⊥AC于F，交⊙O于G，根据含30度的直角三角形三边的关系得OF= OA=2，则GF=OG-OF=2，于是可得到在弧AC上没有一个点到AC的距离为3cm，在弧AEC上有两个点到AC的距离为3cm． 试题解析：（1）证明：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠BAC=30°， ∴∠B=60°， 而OC=OB， ∴△OBC为等边三角形， ∵CD⊥OB， ∴CD平分OB； （2）证明：∵点E为 的中点， ∴OE⊥AB， 而CD⊥AB， ∴OE∥CD ∴∠OEC=∠ECD， ∵OC=OE， ∴∠OEC=∠OCE， ∴∠OCE=∠ECD， 即CE平分∠OCD； （3）圆周上到直线AC距离为3的点有2个．理由如下： 作OF⊥AC于F，交⊙O于G，如图， ∵OA=4，∠BAC=30°， ∴OF= OA=2， ∴GF=OG-OF=2，即在 上到AC的最大距离为2cm， ∴在 上没有一个点到AC的距离为3cm， 而在 上到AC的最大距离为6cm， ∴在 上有两个点到AC的距离为3cm． 考点: 圆的综合题.