Question

已知函数f（x）=sin2x+acosx-2a，对任意x∈R，都有f（x）＜-2恒成立，则实数a的取值范围为______

已知函数f（x）=sin2x+acosx-2a，对任意x∈R，都有f（x）＜-2恒成立，则实数a的取值范围为______．

Answer 1

∵函数f（x）=sin²x+acosx-2a=-cosx²+acosx+1-2a，对任意x∈R，都有f（x）＜-2恒成立，
令t=cosx∈[-1，1]，则有f（x）=-t²+at+1-2a＜-2恒成立，即 t²-at+2a-3＞0 恒成立．
令g（t）=t²-at+2a-3，它的对称轴为t=

a

2

．
故有

a 2 ≤?1 g(?1)＝3a?2＞0

 ①，或

?1＜ a 2 ＜1 4(2a?3)?a2 4 ＞0

 ②，或

a 2 ≥1 g(1)＝a?2＞0

 ③．
解①求得a∈?，解②求得a∈?，解③求得a＞2．
综上可得，a的范围是（2，+∞），
故答案为：（2，+∞）．