Question

如图，BE、CF分别是 △ABC的边AC、AB上的高，且BP=AC，CQ=AB，求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥A

如图，BE、CF分别是 △ABC的边AC、AB上的高，且BP=AC，CQ=AB，求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ

Answer 1

∵ 在△PBF和△PCE中，∠BPF=∠CPE（对顶角），∠BFP=∠CEP（直角）

∴ △PBF∽△PCE，得∠ABP=∠QCA

∵ 在△ABP和△QCA中，PB=AC（已知），∠ABP=∠QCA（已证），AB=CQ（已知）

∴  △ABP ≌ △QCA，得（1） AP=AQ

∵  在△AFQ和△AFP中，∠Q=∠QCA（已证），AF=AF（公共边），∠AFQ=∠AFP（等腰三角形底角相等）

∴ △AFQ ≌ △AFP，则带黄点的四个角相等，每个角是45° ，得（2）AP⊥AQ

Answer 2

本题考查了三角形全等的判定和性质
（1）AC⊥BE，AB⊥QC可得∠FBP=∠ECP，再有BP=AC，CQ=AB，根据SAS证得△QAC≌△APB即可；
（2）由△APB≌△QAC，得∠BAP=∠CQA，通过等量代换得∠BAP+∠QAF=90°即可得AP⊥AQ．
（1）证明：∵AC⊥BE，AB⊥QC     （2）∵△QAC≌△APB
∴∠BFP=∠CEP=90°                    ∴∠AQF=∠PAF
又∵∠FBP=∠EPC                       又AB⊥QC
∴∠FBP=∠ECP                         ∴∠QFA=90°
在△QAC的△APB中                    ∴∠FQA+∠FAQ=90°
BP=AC                                 ∴∠FQA+∠PAF=90°
∠FBP=∠ECP                           即∠PAQ=90°
CQ=AB                                 ∴AP⊥AQ
∴△QAC≌△APB（SAS）
∴AP=AQ

Answer 3

见解析

本题考查了三角形全等的判定和性质 （1）AC⊥BE，AB⊥QC可得∠FBP=∠ECP，再有BP=AC，CQ=AB，根据SAS证得△QAC≌△APB即可； （2）由△APB≌△QAC，得∠BAP=∠CQA，通过等量代换得∠BAP+∠QAF=90°即可得AP⊥AQ． （1）证明：∵AC⊥BE，AB⊥QC     （2）∵△QAC≌△APB ∴∠BFP=∠CEP=90°                    ∴∠AQF=∠PAF 又∵∠FBP=∠EPC                       又AB⊥QC ∴∠FBP=∠ECP                         ∴∠QFA=90° 在△QAC的△APB中                    ∴∠FQA+∠FAQ=90° BP=AC                                 ∴∠FQA+∠PAF=90° ∠FBP=∠ECP                           即∠PAQ=90° CQ=AB                                 ∴AP⊥AQ ∴△QAC≌△APB（SAS） ∴AP=AQ