Question

如图，已知A（-3，0），B（0，-4）．点P为双曲线y＝kx(x＞0，k＞0)上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，P

如图，已知A（-3，0），B（0，-4）．点P为双曲线y＝kx(x＞0，k＞0)上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PO⊥y轴于点D．（1）当四边形ABCD为菱形时，求双曲线的解析式；（2）若点p为直线y＝34x与（1）所求的双曲线的交点，试判定此时四边形ABCD的形状，并加以证明．

Answer 1

（1）解法一：∵四边形ABCD为菱形，
∴OA=OC，OB=OD（1分）
可得点p的坐标为P（3，4）（3分）
∴k=12，即双曲线的解析式为y＝

12

x

(x＞0，k＞0)（5分）
解法二：
由勾股定理可求得菱形的边长为5，所以求得点C、点D的坐标C（3，0）、D（0，4），
所以点P坐标为P（3，4），下同解（一）；

（2）依题意：联立

y＝ 3 4 x y＝ 12 x

，
解得

x＝4 y＝3

（x＞0），
即P（4，3）（7分）
此时，OA=OD=3、OB=OC=4，△OAD，△OBC为等腰直角三角形，
∴AD∥BC，（9分）
又据勾股定理求得AB=CD=5．
所以四边形ABCD为等腰梯形（10分）