Question

设λ1，λ2是方阵A的两个不同的特征值，η1，…，ηr是A的对应于λ1的线性无关的特征向量，ξ1，…，ξs

设λ1，λ2是方阵A的两个不同的特征值，η1，…，ηr是A的对应于λ1的线性无关的特征向量，ξ1，…，ξs是A的对应于λ2的线性无关的特征向量，证明η1，…，ηr，ξ1，…，ξs线性无关．

Answer 1

证明：
由题设知：
Aη_i=λ₁η_i（i=1，2，…，r），Aξ_j=λ₂ξ_j（j=1，2，…，s），
假设：k₁η₁+…+k_rη_r+k_r+1ξ₁+…+k_r+sξ_s=0…①
①式两边都左乘A，可得：
A（k₁η₁+…+k_rη_r）+A（k_r+1ξ₁+…+k_r+sξ_s）=0，
即：λ₁（k₁η₁+…+k_rη_r）+λ₂（k_r+1ξ₁+…+k_r+sξ_s）=0…②
②-λ₂①得：λ₁（k₁η₁+…+k_rη_r）-λ₂（k₁η₁+…+k_rη_r）=0，
从而：（λ₁-λ₂）（k₁η₁+…+k_rη_r）=0，
∵λ₁≠λ₂，
所以：k₁η₁+…+k_rη_r=0，
又η₁，η₂，…，η_r线性无关，
∴k₁=k₂=…=k_r=0，
从而①式可简化为：k_r+1ξ₁+…+k_r+sξ_s=0
又∵ξ₁，ξ₂，…，ξ_s线性无关，
∴k_r+1=k_r+2=…=k_r+s=0，
于是：k₁=…=k_r=k_r+1=…=k_r+s=0，
∴η₁，…，η_r，ξ₁，…，ξ_s线性无关．