Question

设a为实数,记实数f(x)=a倍根号1-x+根号1+x+根号1-x的最大值为g(a)

（1）设t=根号下1+x+根号下1-x，求t的取值范围并把f(x)表示为t的函数m(t)（2）求g(a)（3）试求满足g(a)=g(1/a)的所有实数a

Answer 1

解：1 t=√(1+x)+√(1-x) t=1+x+1-x+2√[(1+x)(1-x)]=2+2√[(1+x)(1-x)] 显然t的范围是（2,4），t的范围就是[√2,2] 所以：√(1-x)=√[(1+x)(1-x)]=(t-2)/2（因为此处定义域是符合要求的，所以可以拆分） f(x)=m(t)=a(t-2)/2+t （√2≤t≤2） 2： 当a=0时，f(x)=t,而t的最大值为2，这时f(x)的最大值就是g(a)=2 当a＜0时，f(x)的最大值其实就是m(t)的最大值， m(t)=a/2t+t-a 这时一个二次函数，当t=-1/a时，m(t)取得最大值-1/(2a)-a。不过，这一值不是可以取的，因为t是有取值范围的，所以要想在这里取得最大值，那么a也要满足t的取值范围，即要： √2≤-1/a≤2→-1/√2≤a≤-1/2。所以总结起来就是，当 -1/√2≤a≤-1/2时，取的最大值-1/(2a)-a 当a＜-1/√2即-1/a＜√2时，也就是该二次函数的对称轴在t的最小值的左边，从图像上就可以判断，此时m(t)的最大值就是当t取√2的时候，即此时 g(a)=√2 当-1/2＜a＜0即-1/a＞2时，也就是该二次函数的对称轴在t的最大值的右边， 从图像上就可以判断，此时m(t)的最大值就是当t取2的时候，即此时 g(a)=a+2 当a＞0时，二次函数m(t)开口向上，且对称轴小于0，从图像上就可以看出，此时m(t)的最大值就是当t取2时的最大值，即此时 g(a)=a+2 综合前面所有的结论： 当a≤-1/√2时，g(a)=√2；………………………………情况① 当-1/√2≤a≤-1/2时，g(a)=-1/(2a)-a…………………情况② 当a＞-1/2时，g(a)=a+2……………………………………情况③ （情况③中，其实就是将当a=0时也包括进去了，因为当a=0时，符合这一函数） 3: 由2可知，当a＜-1/√2，1/a＞-√2，属于情况②，要想满足条件，只需让g(a)=-1/(2a)-a=√2，解得，a=-1/√2，其实也就是在这两种情况的交界处，所以a=-1/√2是符合要求的。 当-1/√2≤a≤-1/2时，-2≤1/a≤-√2，显然1/a是在情况①的范围。要想使之符合要求，只要令g(a)=√2，解出符合要求的a即可，而这已经在①中完成。 当-1/2＜a＜0时，1/a＜-2，这是情况1的范围了。令a+2=√2→a=√2-2，这就不属于-1/2＜a＜0这一范围了，所以当-1/2＜a＜0时，不存在符合要求的a值 当a=0，显然不符合要求。 当a＞0,1/a也是大于0，令 g(a)=g(1/a)→a+2=1/a+2，解出a=1（-1省略掉） 综合以上所有的情况，符合要求的实数a有：a=-1/√2，a=1。