Question

如图：抛物线经过A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点。 （1） 求抛物线的解析式； （2

如图：抛物线经过A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点。 （1） 求抛物线的解析式； （2）已知AD = AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t 秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。（注：抛物线 的对称轴为 ）

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Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-4)， 因为B（0，4）在抛物线上， 所以4=a(0+3)(0-4)， 解得a= ， 所以抛物线解析式为 。 （2）连接DQ， 在Rt△AOB中， ， 所以AD=AB=5，AC=AD+CD=3+4=7，CD=AC-AD=7-5=2， 因为BD垂直平分PQ， 所以PD=QD，PQ⊥BD， 所以∠PDB=∠QDB， 因为AD=AB，所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB， 所以DQ∥AB， 所以∠CQD=∠CBA，∠CDQ=∠CAB， 所以△CDQ∽△CAB， 所以， ，即 ， 所以AP=AD- DP=AD-DQ=5- = ， ， 所以t的值是 。 （3）对称轴上存在一点M，使MQ+MC的值最小， 理由：因为抛物线的对称轴为 ， 所以A（- 3，0），C（4，0）两点关于直线 对称， 连接AQ交直线 于点M，则MQ+MC的值最小。 过点Q作QE⊥x轴于E，所以∠QED=∠BOA=90°， 即DQ∥AB，∠BAO=∠QDE，△DQE∽△ABO，  所以 ，即 ， 所以QE= ，DE= ，所以OE=OD+DE=2+ = ， 所以Q（ ， ）， 设直线AQ的解析式为 ， 则 ，解得： ， 所以，直线AQ的解析式为 ， 联立 ，解得：y= ， 所以，M点的坐标为 ， 即在对称轴上存在点M ，使MQ+MC的值最小。