Question

已知函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f'（x）=6x-2，数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn）（n

已知函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f'（x）=6x-2，数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn）（n∈N*）在函数y=f（x）的图象上．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{an}和数列{bn}满足等式：an＝b12+b222+b323+…+bn2n(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）∵函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f'（x）=6x-2
∴f（x）=3x²-2x
∵点（n，S_n）（n∈N^*）在函数y=f（x）的图象上．
∴S_n=3n²-2n
当n=1时，a₁=S₁=1
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3n²-2n-3（n-1）²+2（n-1）=6n-5
当n=1时适合上式
故数列{a_n}的通项公式为a_n=6n-5
（2）∵an＝

b1

2

+

b2

22

+

b3

23

+…+

bn

2n

(n∈N*)
∴an?1＝ 

b1

2

+

b2

22

+

b3

23

+…+

bn?1

2n?1

(n∈N*)
两式相减得

bn

2n

＝6
∴b_n=6?2ⁿ（n≥2）
当n=1时，b₁=2
∴T_n=2+6（2²+2³+…+2ⁿ）=3?2ⁿ⁺²-22