Question

已知二次函数y=f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f'(x)=6x-2,数列{an}的前n项和为Sn

点（n,sn）均在函数y=f(x) 图像上，求数列{an}的通项公式
求过程

Answer 1

可以先设二次函数为f(x)=ax^2+bx+c，由于过原点，所以f(0)=c=0，给f(x)求导得到，
f'(x)=2ax+b，又因为导函数为f'(x)=6x-2，所以2a=6,b=-2,所以二次函数为f(x)=3x^2-2x。
因为点老睁（n,sn）均在函数y=f(x) 图像上，所以Sn=3n^2-2n，所以S（凳拿n+1)=3(n+1)^2-2(n+1),用S（n+1)-Sn可以得到需要枣含搭的an，所以an=S（n+1)-Sn=3(n+1)^2-2(n+1)-(3n^2-2n)=6n+1
即得an=6n+1

Answer 2

由f'(x)=6x-2,取积分，f(x)=3x^2-2x+c
二次函数y=f(x)的图像经过坐标颂罩旅原点，f(0)=0
代入：c=0,故：二次函数y=f(x)=3x^2-2x

点（n,sn）均在函数y=f(x) 图像上，

（1,s1=a1）在函数y=f(x) 图像上，a1=f(1)=1

即闷隐n=1时，a1=s1=1
n>1时，an=s（n+1）-sn=【3×（n+1）^2-2×（n+1）】-【3n^2-2n】
=6n+1
验证n=1时不合通项公式
故野凳其通项为：

an=1；n=1;
6n+1;n>1

Answer 3

解:(1)依题意可设f(x)=ax2+bx(a≠0),则f′(x)=2ax+b.
由f′(x)=6x-2得a=3,b=-2,
所以f(x)=3x2-2x.又由点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上毁和得Sn=3n2-2n.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-［纤碰盯3(n-1)2-2(n-1)］吵御=6n-5;
当n=1时,a1=S1=3×12-2×1=1=6×1-5.
所以an=6n-5(n∈N*).

Answer 4

过程同上，但解得an=6n-5