Question

已知等式：cos261°+sin231°+cos61°sin31°=acos220°+sin210°-cos20°sin10°=a．（1）根据以上所给

已知等式：cos261°+sin231°+cos61°sin31°=acos220°+sin210°-cos20°sin10°=a．（1）根据以上所给的等式写出一个具有一般性的等式，并指出实数a的值；（2）证明你所写的等式．

Answer 1

（1）∵cos²61°+sin²31°+cos61°sin31°=a，
cos²20°+sin²10°-cos20°sin10°=a，
∴cos²61°+sin²（61°-30°）+cos61°sin（61°-30°）=a，
cos²20°+sin²（20°-30°）+cos20°sin（20°-30°）=a
由此猜测有：cos²60°+sin²30°+cos60°sin30°=a，即得a=

3

4

，
则一般性结论为cos²α+sin²（α-30°）+cosαsin（α-30°）=

3

4

；
（2）证明：cos²α+sin²（α-30°）+cosαsin（α-30°）
=cos²α+（sinαcos30°-cosαsin30°）²+cosα（sinαcos30°-cosαsin30°）
=cos²α+

3

4

sin²α-

3

2

sinαcosα+

1

4

cos²α+

3

2

sinαcosα-

1

2

cos²α
=

3

4

（sin²α+cos²α）=

3

4

，
则cos²α+sin²（α-30°）+cosαsin（α-30°）=

3

4

．