Question

【高中数学】已知0<x<1,求y=x(3-3x)的最大值。

用均值不等式：
因为0<x<1，所以3-3x>0
y=x(3-3x)=<[x^2+(3-3x)^2]/2
当且仅当x=3-3x时，两边取等号，
此时x=3/4，代入后算得y是9/16，不是正确答案3/4，求正解，还有这解法哪里错了？

Answer 1

均值不等式的应用原则
1正2定3相等.............
你用x(3-3x)=<[x^2+(3-3x)^2]/2是x^2+(3-2x)^2的和不定。
故错了，且均值不等式里也没这个公式。

正确的的做法
y=x(3-3x)
=3x(1-x)
≤3[(x+1-x)/2]^2............应用的√ab≤((a+b)/2)^2
=3/4
当且仅当x=1-x时，等号成立
即x=1/2时，等号成立
故
y=x(3-3x)的最大值为3/4

追问

麻烦您可以告诉我为什么要“定”吗？我会提高悬赏分的

追答

不定的话，最值就求不出来

Answer 2

解：因为(a-b)^2≥0
所以(a+b)^2≥4ab
当且仅当a=b时上面等号成立

设a=x,b=1-x
有(x+1-x)^2≥4x(1-x)
4x(1-x)≤1
x(1-x)≤1/4

所以y=x（3-3x）
=3x(1-x)
≤3/4
当且仅当x＝1-x
x=1/2
时有最大值

Answer 3

利用函数和图像可以。y=x(3-3x)转化成y=-3(x+1/4)^2+3/4。这是一个开口向下的函数图像，对称轴为x=-1/4。画出来图像就能求了。

Answer 4

9/16<3/4=12/16.说明你所求到的9/16还不是y的最大值。