Question

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AB=2，E是PB的中点，F是AD的中点．（1

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AB=2，E是PB的中点，F是AD的中点．（1）求异面直线PD一AE所成角的大小；（2）求证：EF⊥平面PBC；（3）求二面角F﹣PC﹣B的大小．

Answer 1

解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则 A（0，2，0），B（2，2，0），C（2，0，0）， D（0，0，0），P（0，0，2），E（1，1，1） ∴ ． ∴ ． 又∵ ， ∴ = ． 故异面直线AE与DP所成角的大小为 （2） ． ∴ =（﹣1）×2+0×2+（﹣1）×（﹣2）=0， ∴EF⊥PB． ∵ =（﹣1）×2+0×0+（﹣1）×（﹣2）=0， ∴EF⊥PC． 又∵PB∩PC=P， ∴EF⊥平面PBC． （3）设平面PFC的法向量为m=（x，y，z）， 则 令z=1，则m=（1，2，1）． 由（2）知平面PBC的法向量为 ． ． 则二面角F﹣PC﹣B的大小为为 ．