Question

如图，P是等边△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转60°到BP′．（1）请连结AP，求证：△ABP≌△CBP′；（2

如图，P是等边△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转60°到BP′．（1）请连结AP，求证：△ABP≌△CBP′；（2）已知∠AP′B=150°，若连结P′P，判断△APP′的形状；（3）在（2）的条件下，若P′A=2，P′C=3，求PB与P′A的比值是多少．

Answer 1

（1）证明：如图，连接AP，
∵P是等边△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转60°到BP′，
∴AB=BC，∠PBP′=∠ABC=60°，
∴∠PBA=∠CBP′，
在△ABP和△CBP′中，

PB＝P′B ∠PBA＝∠P′BC AB＝BC

，
∴△ABP≌△CBP′（SAS）；

（2）解：连接PP′，
∵PB=P′B，∠PBP′=60°，
∴△PBP′是等边三角形，
∴∠PP′B=60°，
∵∠AP′B=150°，
∴∠AP′P=90°，
∴△APP′是直角三角形；

（3）解：∵△PBP′是等边三角形，
∴PP′=PB=P′B，
∵△ABP≌△CBP′，
∴AP=P′C=3，
在Rt△AP′P中
PP′=

AP2?P′A2

=

32?22

=

5

，
∴PB=

5

，
∴PB与P′A的比值是：

5

：2．