Question

已知函数f（x）=2sin(ωx+φ)(0<φ<π,ω>0)为偶函数，且函数y=f(x)的图像的两相邻对称轴间的距离为π/2

求f(π/8)的值
将函数y=f(x)的图像向右平移π/6个单位长度后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图像，求g(x)的单调递减区间

Answer 1

由于函数f（x）=2sin(ωx+φ)(0<φ<π,ω>0)为偶函数，
可以推知φ=π/2，
又由于函数y=f(x)的图像的两相邻对称轴间的距离为π/2
可以推知π/ω=π/2,得ω=2，
从而f（x）=2sin(ωx+φ)=2sin(2x+π/2)=2cos2x
故f(π/8)=√2
将函数y=f(x)的图像向右平移π/6个单位长度后,得到y=2cos2（x-π/6）=2cos（2x-π/3）
再将得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，得y=2cos（1/2x-π/3）
即y=g(x)=2cos（1/2x-π/3）
g'(x)=-sin(1/2x-π/3)
若函数单调递减，则g'(x)≪0，
即sin(1/2x-π/3)≫0，
得2kπ ≪1/2x-π/3≪2kπ +π /2
即4kπ+2π/3≪x ≪4kπ+8π3,其中k为整数