Question

已知函数f（x）=xlnx且（x2＞x1＞0），则下列命题正确的是______．①（x1-x2）（f（x1）-f（x2））＜0；

已知函数f（x）=xlnx且（x2＞x1＞0），则下列命题正确的是______．①（x1-x2）（f（x1）-f（x2））＜0；②f(x1)?f(x2)x1?x2＜1； ③f（x1）+f（x2）＜x2f（x2）；④x2f（x1）＜x1f（x2）； ⑤当lnx1=-1，x1f（x1）+x2f（x2）＞2x2f（x1）

Answer 1

f′（x）=lnx+1，x∈（0，

1

e

）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，

1

e

）上单调递减；
x∈（

1

e

，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（

1

e

，+∞）上单调递增．
①（x₁-x₂）?[f（x₁）-f（x₂）]＜0不正确，
∵当x₁，x₂∈（

1

e

，+∞）时，函数f（x）是增函数，
∴x₂＞x₁，得到f（x₂）＞f（x₁）；
∴（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，故①错误．
②令g（x）=f（x）-x=xlnx-x，
则g′（x）=lnx，设x₁，x₂∈（1，+∞），
则g′（x）＞0，∴函数g（x）在（1，+∞）上是增函数，
∴由x₂＞x₁得g（x₂）＞g（x₁）；
∴f（x₂）-x₂＞f（x₁）-x₁，∴

f(x1)?f(x2)

x1?x2

＞1，故②错误．
③构造函数h（x）=f（x）-x=xlnx-x，h′（x）=lnx，
∴x∈（0，1）时，h′（x）＜0，∴函数h（x）在（0，1）上单调递减，
设x₁，x₂∈（0，1），∴由x₁＜x₂得，h（x₁）＞h（x₂）；
∴f（x₁）-x₁＞f（x₂）-x₂，
∴f（x₁）+f（x₂）＞x₂f（x₂），故③错误；
④设φ（x）=

f(x)

x

=lnx，φ′（x）=

1

x

，∴在（0，+∞）上φ′（x）＞0，
∴函数φ（x）在（0，+∞）上单调递增；
∴由x₁＜x₂得：φ（x₁）＜φ（x₂），即：∴x₂f（x₁）＜x₁f（x₂），故④正确．
⑤∵lnx₁＞-1，∴x＞

1

e

，∵x₂＞x₁，∴x₂＞

1

e

；
由前面知，f（x）在（

1

e

，+∞）上是增函数，
∴（x₁-x₂）（f（x₁）-f（x₂））＞0，
即x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）．
由④知x₂f（x₁）＜x₁f（x₂）得：x₁f（x₂）+x₂f（x₁）＞2x₂f（x₁）．
∴x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞2x₂f（x₁），故⑤正确．
故答案是：④⑤．