Question

已知函数fx=2/x+a㏑x-2若对于任意x∈(0,+∞)都有fx>2(a-1),试求a的取值范

Answer 1

原题是:已知函数f(x)=(2/x)+a㏑x-2,若对于任意x∈(0,+∞)都有f(x)>2(a-1),试求a的取值范围.
对于任意x∈(0,+∞)都有f(x)>2(a-1)
即对于任意x∈(0,+∞)都有(2/x)+a㏑x-2a>0
设g(x)=(2/x)+a㏑x-2a
则必有g(1)=2-2a>0,得a<1
在a<1时
g'(x)=(-2/x^2)+(a/x) (x>0)
当a<0时,g'(x)<0,g(x)在其上单减
x→+∞时,g(x)→-∞,此时a不可取；
当a=0时,g(x)=(2/x)>0 (x>0)
a=0可取;
当0<a<1时,g'(x)=(-2/x^2)+(a/x)=(x-2/a)(a/x^2) (x>0)
在(0,2/a)上g'(x)<0,g(x)在其上单减
在(2/a,+∞)上g'(x)>0,g(x)在其上单增
在x=2/a处g(x)取最小值g(2/a)=a+aln(2/a)-2a=aln(2/a)-a
此时a可取:0<a<1且aln(2/a)-a>0
解得0<a<2/e
所以 a的取值范围是0≤a<2/e

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