双曲线和抛物线的性质与公式 还有解题技巧 100分送上！ 100
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双曲线：1、轨迹上一点的取值范围：x≥a,x≤-a（焦点在x轴上）或者y≥a,y≤-a（焦点在y轴上）.
2、对称性：关于坐标轴和原点对称.
3、顶点：A(-a,0), A＇(a,0).同时 AA＇叫做双曲线的实轴且∣AA＇│=2a.
B(0,-b), B＇(0,b).同时 BB＇叫做双曲线的虚轴且│BB＇│=2b.
4、渐近线：
焦点在x轴：y=±(b/a)x.
焦点在y轴：y=±(a/b)x. 圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时,表示双曲线.其中p为焦点到准线距离,θ为弦与X轴夹角
令1-ecosθ=0可以求出θ,这个就是渐近线的倾角.θ=arccos（1/e）
令θ=0,得出ρ=ep/1-e, x=ρcosθ=ep/1-e
令θ=PI,得出ρ=ep/1+e ,x=ρcosθ=-ep/1+e
这两个x是双曲线定点的横坐标.
求出他们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标）
x=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
（注意化简一下）
直线ρcosθ=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
是双曲线一条对称轴,注意是不与曲线相交的对称轴.
将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos（1/e）角度后就得到渐近线方程,设旋转后的角度是θ’
则θ’=θ-【PI/2-arccos（1/e）】
则θ=θ’+【PI/2-arccos（1/e）】
带入上式：
ρcos{θ’+【PI/2-arccos（1/e）】}=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
即：ρsin【arccos（1/e）-θ’】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
现在可以用θ取代式中的θ’了
得到方程：ρsin【arccos（1/e）-θ】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
5、离心率：
第一定义： e=c/a 且e∈（1,+∞).
第二定义：双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│ 与 点P到定直线(相应准线)的距离d 的比等于双曲线的离心率e.
6、双曲线焦半径公式（圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离）
右焦半径：r=│ex-a│
左焦半径：r=│ex+a│
7、等轴双曲线
一双曲线的实轴与虚轴长相等 即：2a=2b 且 e=√2
8、共轭双曲线
双曲线S＇的实轴是双曲线S的虚轴 且 双曲线S＇的虚轴是双曲线S的实轴时,称双曲线S＇与双曲线S为共轭双曲线.
几何表达：S：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 S＇：(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1
特点：（1）共渐近线
（2）焦距相等
（3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1
9、准线： 焦点在x轴上：x=±a^2/c
焦点在y轴上：y=±a^2/c
10、通径长：（圆锥曲线（除圆外）中,过焦点并垂直于轴的弦）
d=2b^2/a
11、过焦点的弦长公式：
d=2pe/(1-e^2cos^2θ) 或 2p/sin^2θ [p为焦点到准线距离,θ为弦与X轴夹角]
12、弦长公式
抛物线：1.抛物线是轴对称图形.对称轴为直线x = -b/2a.
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P.
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P,坐标为P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )
当-b/2a=0时,P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时,P在x轴上.
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.
当a＞0时,抛物线向上开口；当a＜0时,抛物线向下开口.
|a|越大,则抛物线的开口越小.
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.
当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左； 因为若对称轴在左边则对称轴小于0,也就是-b/2a0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号
可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0）,对称轴在y轴右.
事实上,b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值.可通过对二次函数求导得到
.
5.常数项c决定抛物线与y轴交点.
抛物线与y轴交于（0,c）
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2;-4ac＞0时,抛物线与x轴有2个交点.
Δ= b^2;-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点.
_______
Δ= b^2-4ac＜0时,抛物线与x轴没有交点.X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a）
当a>0时,函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在{x|x-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变
当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)
7.特殊值的形式
①当x=1时 y=a+b+c
②当x=-1时 y=a-b+c
③当x=2时 y=4a+2b+c
④当x=-2时 y=4a-2b+c
8.定义域：R
值域：（对应解析式,且只讨论a大于0的情况,a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a,正无穷）；②[t,正无穷）
奇偶性：偶函数
周期性：无
解析式：
①y=ax^2+bx+c[一般式]
⑴a≠0
⑵a＞0,则抛物线开口朝上；a＜0,则抛物线开口朝下；
⑶极值点：（-b/2a,(4ac-b^2)/4a）；
⑷Δ=b^2-4ac,
Δ＞0,图象与x轴交于两点：
（[-b-√Δ]/2a,0）和（[-b+√Δ]/2a,0）；
Δ＝0,图象与x轴交于一点：
（-b/2a,0）；
Δ＜0,图象与x轴无交点；
②y=a(x-h)^2+k[顶点式]
此时,对应极值点为（h,k）,其中h=-b/2a,k=(4ac-b^2)/4a；
③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式（双根式）]（a≠0）
对称轴X=(X1-X2)/2 当a>0 且X≧(X1+X2)/2时,Y随X的增大而增大,当a>0且X≦（X1+X2）/2时Y随X的增大而减小
此时,x1、x2即为函数与X轴的两个交点,将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）.
二者的解题技巧你需要去搜一些相关的经典例题然后去查看过程得出解题技巧 许多好的例题百度文库里面都有。
希望我的回答可以帮到你！望采纳！
2、对称性：关于坐标轴和原点对称.
3、顶点：A(-a,0), A＇(a,0).同时 AA＇叫做双曲线的实轴且∣AA＇│=2a.
B(0,-b), B＇(0,b).同时 BB＇叫做双曲线的虚轴且│BB＇│=2b.
4、渐近线：
焦点在x轴：y=±(b/a)x.
焦点在y轴：y=±(a/b)x. 圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时,表示双曲线.其中p为焦点到准线距离,θ为弦与X轴夹角
令1-ecosθ=0可以求出θ,这个就是渐近线的倾角.θ=arccos（1/e）
令θ=0,得出ρ=ep/1-e, x=ρcosθ=ep/1-e
令θ=PI,得出ρ=ep/1+e ,x=ρcosθ=-ep/1+e
这两个x是双曲线定点的横坐标.
求出他们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标）
x=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
（注意化简一下）
直线ρcosθ=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
是双曲线一条对称轴,注意是不与曲线相交的对称轴.
将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos（1/e）角度后就得到渐近线方程,设旋转后的角度是θ’
则θ’=θ-【PI/2-arccos（1/e）】
则θ=θ’+【PI/2-arccos（1/e）】
带入上式：
ρcos{θ’+【PI/2-arccos（1/e）】}=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
即：ρsin【arccos（1/e）-θ’】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
现在可以用θ取代式中的θ’了
得到方程：ρsin【arccos（1/e）-θ】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
5、离心率：
第一定义： e=c/a 且e∈（1,+∞).
第二定义：双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│ 与 点P到定直线(相应准线)的距离d 的比等于双曲线的离心率e.
6、双曲线焦半径公式（圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离）
右焦半径：r=│ex-a│
左焦半径：r=│ex+a│
7、等轴双曲线
一双曲线的实轴与虚轴长相等 即：2a=2b 且 e=√2
8、共轭双曲线
双曲线S＇的实轴是双曲线S的虚轴 且 双曲线S＇的虚轴是双曲线S的实轴时,称双曲线S＇与双曲线S为共轭双曲线.
几何表达：S：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 S＇：(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1
特点：（1）共渐近线
（2）焦距相等
（3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1
9、准线： 焦点在x轴上：x=±a^2/c
焦点在y轴上：y=±a^2/c
10、通径长：（圆锥曲线（除圆外）中,过焦点并垂直于轴的弦）
d=2b^2/a
11、过焦点的弦长公式：
d=2pe/(1-e^2cos^2θ) 或 2p/sin^2θ [p为焦点到准线距离,θ为弦与X轴夹角]
12、弦长公式
抛物线：1.抛物线是轴对称图形.对称轴为直线x = -b/2a.
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P.
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P,坐标为P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )
当-b/2a=0时,P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时,P在x轴上.
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.
当a＞0时,抛物线向上开口；当a＜0时,抛物线向下开口.
|a|越大,则抛物线的开口越小.
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.
当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左； 因为若对称轴在左边则对称轴小于0,也就是-b/2a0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号
可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0）,对称轴在y轴右.
事实上,b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值.可通过对二次函数求导得到
.
5.常数项c决定抛物线与y轴交点.
抛物线与y轴交于（0,c）
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2;-4ac＞0时,抛物线与x轴有2个交点.
Δ= b^2;-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点.
_______
Δ= b^2-4ac＜0时,抛物线与x轴没有交点.X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a）
当a>0时,函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在{x|x-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变
当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)
7.特殊值的形式
①当x=1时 y=a+b+c
②当x=-1时 y=a-b+c
③当x=2时 y=4a+2b+c
④当x=-2时 y=4a-2b+c
8.定义域：R
值域：（对应解析式,且只讨论a大于0的情况,a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a,正无穷）；②[t,正无穷）
奇偶性：偶函数
周期性：无
解析式：
①y=ax^2+bx+c[一般式]
⑴a≠0
⑵a＞0,则抛物线开口朝上；a＜0,则抛物线开口朝下；
⑶极值点：（-b/2a,(4ac-b^2)/4a）；
⑷Δ=b^2-4ac,
Δ＞0,图象与x轴交于两点：
（[-b-√Δ]/2a,0）和（[-b+√Δ]/2a,0）；
Δ＝0,图象与x轴交于一点：
（-b/2a,0）；
Δ＜0,图象与x轴无交点；
②y=a(x-h)^2+k[顶点式]
此时,对应极值点为（h,k）,其中h=-b/2a,k=(4ac-b^2)/4a；
③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式（双根式）]（a≠0）
对称轴X=(X1-X2)/2 当a>0 且X≧(X1+X2)/2时,Y随X的增大而增大,当a>0且X≦（X1+X2）/2时Y随X的增大而减小
此时,x1、x2即为函数与X轴的两个交点,将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）.
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