Question

已知抛物线焦点在x轴上,其上一点P到焦点距离最小值为5,求抛物线方程

已知抛物线上任意一点为A，焦点F求证以AF为直径的圆与Y相切
与圆x2+y2-4x=0相切与y轴相切动圆圆心的轨迹方程
已知抛物线焦点在x轴上，其上一点P到焦点距离最小值为5，求抛物线方程 已知点P在抛物线y2=2x，定点A(a,o)求PA最小值

Answer 1

1.证明：设抛物线方程为y²=2px，令AF的中点为M，圆M的半径为R
则准线方程为x=-p/2，F(p/2,0)
则直径|AF|=2R，∴A到准线距离为2R，则A到y轴的距离为2R-p/2，令A(2R-p/2,y)
∴中点M((2R-p/2+p/2)/2,y)，即M(R,y)
∴M到y轴的距离为R
∴圆M与y轴相切

2.解：x²+y²-4x=0，即(x-2)²+y²=4，圆心为F(2,0)，半径为2
设圆心为M(x,y)，M到y轴距离为MN
∵相切
∴|MN|=|MF|-2
即M到直线x=-2的距离等于M到F(2,0)的距离
即抛物线，焦点为F(2,0)
∴方程为y²=8x

3.解：到焦点的距离=到准线的距离
所以到焦点距离最短就是到准线距离最短，因为准线到y轴距离不变
则点到y轴距离最短就是点到焦点距离最短
∴到焦点距离最短的点为抛物线的顶点
∴顶点到焦点的距离为5，即p/2=5，则p=10
∴抛物线为y²=20x

4.解：设焦点为F
∵FA距离为定值
由三角关系|AP|<|AF|+|FP|可知：|AP|不会超过|AF|+|FP|的最小值
|FP|的最小值为顶点到焦点，即0.5
|FA|为定值，即|0.5-a|
则：
当a≥0.5时：|AP|<0.5+|0.5-a|=0.5+0.5-a=1-a
当a<0.5时：|AP|<0.5+|0.5-a|=0.5+a-0.5=a

Answer 2

解：因为抛物线上已知的点m的横坐标为负数，所以设抛物线为y^2=-2px
(p＞0)
所以抛物线的准线可以表示为x=p/2
又根据抛物线的定义：点到焦点的距离等于点到准线的距离
所以3+p/2=5
所以p=4
所以抛物线为y^2=-8x
m:
将x=-3代入，得m=正负2倍的根号6