Question

AD是三角形ABC中角A的平分线,用向量的方法求证AB/AC=BD/CD

是要用向量法！

Answer 1

证明：方法1：（面积法）
三角形ABM面积S=(1/2)*AB*AM*sin∠BAM,
三角形ACM面积S=(1/2)*AC*AM*sin∠CAM,
所以三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=AB:AC
又三角形ABM和三角形ACM是等高三角形，面积的比等于底的比，
证明2图
即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM
所以AB／AC=MB／MC
方法2（相似形）
过C作CN平行于AB交AM的延长线于N
三角形ABM相似三角形NCM,
AB/NC=BM/CM,
又可证明∠CAN=∠ANC
所以AC=CN，
所以AB／AC=MB／MC

证明3图
方法3（相似形）
过M作MN平行于AB交AC于N
三角形ABC相似三角形NMC,
AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC
又可证明∠CAM=∠AMN
所以AN=MN，
所以AB/AC=AN/NC
所以AB／AC=MB／MC
方法4（正弦定理）
作三角形的外接圆，AM交圆于D，
由正弦定理，得，
证明4图
AB/sin∠BMA=BM/sin∠BAM,
AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM
又∠BAM=∠CAM，∠BMA+∠AMC=180
sin∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC,
所以AB／AC=MB／MC

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