Question

如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边三角形ACD、等边三角形ABE，已知∠BAC=30°，EF⊥AB，

垂足为F，连结DF。（1）求证：四边形ADFE是平行四边形（2）求四边形ADFE的周长

Answer 1

（1）证明：因为三角形ABC是等边三角形
所以AD=AC
角CAD=60度
因为三角形ABE是等边三角形
EF垂直AB
所以EF是等边三角形ABE的垂线，中线，角平分线
所以AB=AE
角BAE=角AEB=60度
角EFA=90度
AF=BF=1/2AB
角AEF=角BEF=1/2角AEB=30度
因为角BAD=角CAD+角BAC=60+30=90度
所以角BAD=角EFA=90度
所以AD平行EF
因为三角形ABC是直角三角形 ，角BAC=30度
所以BC=1/2AB
所以BC=AF
因为角ACB=角EFA=90度（已证）
角BAC=角AEF=30度
所以三角形BAC和三角形AEF全等（AAS)
所以AC=EF
所以AD=EF
所以四边形ADFE是平行四边形
（2）解：因为四边形ADFE是平行四边形 （已证）
所以DF=AE
AD=EF
因为四边形ADFE是周长=AD+DF+EF+AE
所以四边形ADFE的周长=2AB+2AC
因为三角形ABC是直角三角形
所以AB^2=AC^2+BC^2
因为BC=1/2AB
所以AB=2BC
AC=根号3倍BC
所以四边形ADFE的周长=2倍根号3BC+4BC

追问

BC=2

追答

因为四边形ADFE的周长=2倍根号3BC+4BC
BC=2
所以四边形ADFE的周长=4倍根号3+8

Answer 2

(1)证明：在Rt△ABC，∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°，
等边△ABE中，∠ABE=60°，且AB=BE，
∵EF⊥AB，
∴∠EFB=90°，
∴Rt△ABC≌Rt△EBF，
∴AC=EF，
又在等边△ACD中，∠DAC=60°，AD=AC，
又∵∠BAC=30°，
∴∠DAF=90°，
∴AD∥EF，
又∵AC=EF，∴AD=EF，
∴四边形ADFE是平行四边形．
(2)没有给出任何长度数据，是不是少条件？