Question

高一立体几何

已知正方形ABCD外一点P,PC⊥底面ABCD且AB=2PC=4，E、F分别为AD、AB中点，求点B到平面PEF的距离。

Answer 1

证明：连结AC与BD，AC交EF与M，交BD与G。
1.因为E、F分别为AB与AD的中点，所以EF平行于BD（三角形的中线平行于底边）
因为EF包含于平面PEF，所以BD平行于平面PEF
所以B到平面PEF的距离就是直线BD到平面EF的距离也是点G到平面PEF的距离
2.连结PM，过G作GN垂直于PM
因为AC垂直于BD，EF平行于BD，
所以AC垂直于EF
又因为AE=AF，所以EM=FM
因为三角形PEF为正三角形
所以PM垂直于EF
又因为AC交PM于M，所以EF垂直于平面PMC
3.因为GN包含于平面PMC，所以EF垂直于GN
因为GN垂直于PM，PM交EF于M，所以GN垂直于PEF面
综合123得出，GN长度为G到平面PEF的距离
接着利用三角形PMC相似于三角形GMN就可以求出题上所求距离

Answer 2

首先，链接BD，AC，相交于G点，相交EF于M点，容易得到B点到平面PEF的距离就是G点到平面PEF的距离，即直角三角形PMC斜边PM上过G点的垂线长度。提示到这里你应该知道了思路了吧。不懂的话，我再细说。