高数二重积分 面积的计算红线部分为什么y
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设f(t)=t(1-2t)(1-3t) t∈[0,1]
不妨设 f(t)=t(1-2t)(1-3t)≥a(3t-1) 在[0,1]恒成立，先确定a
因为所求不等式在 x=y=z=1/3时取等
故f(t)=t(1-2t)(1-3t)-a(3t-1)在t=1/3时取极小值，导数为0
故 18t^2-10t+1-3a=0 有一个根为x1=1/3,故 x2=2/9, a=25/81
所以g(t)在[0,2/9]，[1/3,1]单调增加，在[2/9,1/3]单调减小
所以g(t)在[0,1]上的最小值为 min{g(0),g(1/3)}=0
所以 x(1-2x)(1-3x)+y(1-2y)(1-3y)+z(1-2z)(1-3z)
=f(x)+f(y)+f(z)
不妨设 f(t)=t(1-2t)(1-3t)≥a(3t-1) 在[0,1]恒成立，先确定a
因为所求不等式在 x=y=z=1/3时取等
故f(t)=t(1-2t)(1-3t)-a(3t-1)在t=1/3时取极小值，导数为0
故 18t^2-10t+1-3a=0 有一个根为x1=1/3,故 x2=2/9, a=25/81
所以g(t)在[0,2/9]，[1/3,1]单调增加，在[2/9,1/3]单调减小
所以g(t)在[0,1]上的最小值为 min{g(0),g(1/3)}=0
所以 x(1-2x)(1-3x)+y(1-2y)(1-3y)+z(1-2z)(1-3z)
=f(x)+f(y)+f(z)
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