Question

如图，已知抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A,B两 在线等

如图，已知抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A,B两点，点C在抛物线的准线上，且BC//x轴，求证，直线AC经过原点O

Answer 1

证明：∵抛物线y^2=2px(p>0)
设过焦点F的直线为y=k(x-p/2)==> y^2=k^2(x^2-px+p^2/4)
代入抛物线得k^2x^2-(k^2+2)px+k^2p^2/4=0
X1=[(k^2+2)-2√(1+k^2)]/k^2*p/2=[√(1+k^2)-1]^2/k^2*p/2
X2=[(k^2+2)+2√(1+k^2)]/k^2*p/2=[√(1+k^2)+1]^2/k^2*p/2

设B(x1,y1),A(x2,y2)
∵点C在抛物线的准线上，且BC//x轴
∴C(-p/2,y1)
直线CO方程y=-2y1/p*x

Y1=k(x1-p/2)=k*p/2*([√(1+k^2)-1]^2/k^2-1)=k*p/2*([2-2√(1+k^2)]/k^2
Y2=k(x2-p/2)=k*p/2*([√(1+k^2)+1]^2/k^2-1)=k*p/2*([2+2√(1+k^2)]/k^2

y=-k*([2-2√(1+k^2)]/k^2*x
将A坐标代入此方程
Y=-k*([2-2√(1+k^2)]/k^2*[√(1+k^2)+1]^2/k^2*p/2
=-k*{-2[√(1+k^2)+1]^2/k^2}*p/2=y2
∴A点在直线CO上，即AC过原点。

当斜率k不存在时，直线为x=p/2.与抛物线交于A(p/2,p)和B(p/2,-p).准线方程为：x=-p/2。则点C(-p/2,-p).直线AC过原点。（A与C关于原点对称。）

Answer 2

证明：
讨论：
1，当斜率k不存在时，直线为x=p/2.与抛物线交于A(p/2,p)和B(p/2,-p).准线方程为：x=-p/2。则点C(-p/2,-p).显然直线AC过原点。（因为A与C关于原点对称。）
2，斜率存在时，设直线方程为：y=k(x-p/2),与抛物线交点分别为A(x1,y1)B(x2,y2).则点C(-p/2,y2).其中 x1*x2 = p^2/4 , y1*y2 = —P^2 .
直线OC的斜率为k1=y2/(-p/2)=-2y2/p；直线AO的斜率为k2=y1/x1.
简单代换一下，就得k1=k2.所以A,O,C三点共线。即直线AC过原点。