Question

请问这个不等式怎么证明？

Answer 1

由题目可得：即 n^(n/2)<=n!
证明：当 n=1 时，成立，当 n=2 时，成立。
对于右边的阶乘, n*(n-1)*(n-2).....*3*2*1 .
n*1>=n.(n-1)*2>n.(n-2)*3>n... 以此类推，
中间为 n/2*(n+1)/2>n .所以左式小于右式。

Answer 2

证明过程如下图所示：

证法一：

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证法二：

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注：1.证法二相对较简单。

2.请阅后分析总结。

3.在原答案上稍有改动。

追问

能不用数学归纳法吗？

追答

其他方法不太会。

找到简便方法了

Answer 3

证明n!<=n^n<=(n!)^2 （n属于正整数）， 

 

 

首先n!<=n^n这个很容易证明，因为n个小于等于n的数的乘积一定小于等于n个n的乘积

再证n^n<=(n!)^2，我们只要证明n<=i(n-i+1),i=1,2,...,n

等价于i^2 - in + n - i <= 0

(i-n)(i-1)<=0

这是显然的.玄色龙眼 

===================

当n=1时,即1=1；

若n=k时,式子(k!)^2≥k^k成立；

当n=k+1时,式子[(k+1)!]^2≥k^k(k+1)^2;

利用比值法：（k+1）^（k+1）/k^k(k+1)^2

=(k+1)^(k-1)/k^k

>(k+1)^(k-1)/（k+1）^k

1/k+1<1

所以：（k+1）^（k+1）<k^k'(k+1)^2；

【(k+1)!】^2≥（k+1）^（k+1）

综上所述：对于n取任何正整数,式子(n!)^2≥n^n均成立；

Answer 4

感觉好难啊，坐等高手!

Answer 5

希望能帮助到朋友哦