Question

多元函数微分学 第58题后面的x,y,z是怎么算出来的？

我试了好多办法，消λ的办法我也试了，还是计算不出来，这种题真麻烦啊。麻烦详细说一说吧，谢谢。

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Answer 1

本题考察利用拉格朗日乘子法求极值，你的问题主要在于联立的方程如何具体计算

这类题目的一般思路：

1. 列出 F (x,y,z,λ) 的表达式；

2. 求四个变量偏导；

3. 令四个偏导数分别等于0，联立解方程，求出 x, y, z, λ

4. 代入函数，计算极值/最值

这里主要写一下本题 ③ 这步的计算过程

追问

感谢您的回答，您的回答最详尽也最接近我的理解思路。谢谢。

追答

不客气～

Answer 2

这么说吧，多元函数条件极值这种四元方程组很难解，因为一般都是高次的形式，通常用整体代换的方法消掉λ,求解。下面说下我解这个方程组的方法。当然不一定是最快的，楼主可以参考。

将方程组的四个方程分别标号①②③④.
观察②式和③式，发现将yz互换位置后等式值不变，说明yz有相同地位，所以y=z.
将y=z,带入②式，两边消去y得2λ=-xb^2,标号为⑤.
将y=z，和⑤式带入①式，消去λ得
x^2/a^2=y^2/b^2,再将此式带入④式得3y^2/b^2=1,解得y=b/√3,知道了y,x和z的值也就迎刃而解了。

追问

谢谢

Answer 3

分别把前三个等式中间的两项中的一项移到另一端，然后两两相除，即得到x＝y＝z。再代入第四式即求得结果。

追问

谢谢

Answer 4

内接长方体体积最大时应该是正方体，
此时x = y = z。

追问

谢谢您的回答，图片2是答案，并不相等

追答

把求偏导的前三个方程分别乘以x、y、z。

得到xyz=-2λx^2/a^2
xyz=-2λy^2/b^2
xyz=-2λz^2/b^2
则x^2/a^2=y^2/b^2=z^2/b^2或λ=0（舍去）
把解代入第四个方程即可。

追问

谢谢