Question

两个不存在函数相加时极限存在那么相减时极限存在吗？

是不是当两个极限不存在函数相加时极限存在了，在此基础上若单一地改变任意一个函数的符号都会时整体的极限由存在改变为不存在呀。所以使两个极限运算后极限存在的这种运算是唯一的？

Answer 1

不存在。

反证法：

lim f 存在，lim g 不存在。假设lim (f-g) 存在，则

lim g = lim [f - (f-g)] = lim f - lim (f-g)

由于lim f 和 lim (f-g)都存在，所以lim g也存在。

这与先提条件是矛盾的，所以假设不成立。

所以lim (f-g) 不存在。

N的相应性　

一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。

Answer 2

是可能存在的，但是并不一定存在。
楼主所说的问题，其实就是不定式的问题。
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1、两个函数的极限都是正无穷大，也就是各自都不存在；
但是它们的差值，有可能是一个固定的常数，有可能不存在。
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2、两个函数的极限是无穷大，它们的商的极限可能是常数，
也可能不存在。
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3、两个函数各自的极限不存在，它们的积的极限，也是有可能存在的。
例如：x 趋向于 0 时，sin(1/x)，csc(1/x)；
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追问

想问问答主有没有这样的函数存在呀？呀？