Question

若f（t）为连续函数且为奇函数,证明：F（X）=∫（x，0）f（t）dt是偶函数

Answer 1

首先要知道一个性质 对于题目中给出的f（x）
∫（-x，x）f（t）dt＝0 具体证明可以画个图特别明显
所以由上式
∫（-x，0）f（t）dt + ∫（0，x）f（t）dt＝0
参照F（x） 前者是F（-x）后者是-F（x）
所以即F（-x）-F（x）＝0
F（x）＝F（-x）得证偶函数

Answer 2

let
u=-t
du =-dt
F(x)=∫(0->x) f(t)dt

F(-x)
= ∫(0->-x) f(t)dt
= ∫(0->x) f(-u) (-du)
= ∫(0->x) -f(u) (-du)
= ∫(0->x) f(u) du
= ∫(0->x) f(t) dt
=F(x)
=> F 是偶函数

追问

请问这一步 ∫(0->-x) f(t)dt= ∫(0->x) f(-u) (-du)怎么来的

请问这一步 ∫(0->-x) f(t)dt= ∫(0->x) f(-u) (-du)怎么来的

追答

let
t=-u
dt=-du
t=0, u=0
t=-x , u=x
∫(0->-x) f(t)dt
= ∫(0->x) f(-u) (-du)

追问

为啥-x突然就变成了x啦？

追答

t=-x , u=x