Question

若函数f（x）是连续的偶函数，证明F（x）=∫（x，0）f（t）d（t）是奇函数。求助各位帮帮忙，急求！谢谢了

答案要详细点。上限是x，下限是0

Answer 1

F（-x）=∫（-x，0）f（t）d（t）令t=-u
则F(-x)=∫（x，0）f（-u）d（-u）=-∫（x，0）f（-u）d（u）
因为f（x）是连续的偶函数，所以f(-u)=f(u)
所以F(-x)=-∫（x，0）f（u）d（u）=-F(x)
又因为F（0）=∫（0，0）f（t）d（t）=0
所以
F（x）=∫（x，0）f（t）d（t）是奇函数
我是老师 谢谢采纳

Answer 2

F（-x）=∫（-x，0）f（t）d（t）令t=-u
则F(-x)=∫（x，0）f（-u）d（-u）=-∫（x，0）f（-u）d（u）
因为f（x）是连续的偶函数，所以f(-u)=f(u)
所以F(-x)=-∫（x，0）f（u）d（u）=-F(x)
又因为F（0）=∫（0，0）f（t）d（t）=0
所以
F（x）=∫（x，0）f（t）d（t）是奇函数