Question

求解一道高等数学题， 设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可微,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1.

证明（1）存在ξ∈(1/2,1）使得f（ξ）=ξ；
（2）存在一个η∈(0,ξ),使得f'(η）=f（η）-η+1

Answer 1

这是中值定理中常见的证明题目。

第一问，可以将结论看做函数的零点问题，构造辅助函数，利用连续函数零点定理证明。

第二问，待证结论中有f(x)及f'(x)，能够将导数与原函数联系起来的是中值定理，如何构造辅助高数是个难题。第一问为我们提供了思路。

(具体证明过程如图所示)

追问

怎么证明g(0)=g(ξ)=0的...

追答

直接带入函数值，根据已知条件，f(0)＝0，还有第一问证明的f(ξ)＝ξ

追问

还是没明白，g(ξ)=g(0)是怎么得出来的...

追答

g(x)＝e^(－x)［f(x)－x］，因为f(0)＝0，所以g(0)＝e^(0)［f(0)-0］＝0；由第一问可知f(ξ)＝ξ，所以g(ξ)＝e^(－ξ)［f(ξ)－ξ］＝0

追问

那最后一步g(ξ）求导我算了一遍是等于e^(－x)F'(η）-e^(－x)f(η）+e^(－x)η,提取e^(-x)的之后没有-1这一项，-1这一项是怎么来的呢？

追答

F'(η)＝f'(η)－1
这个结论的证明是运用罗尔定理，区间两端点函数值相等，可以推导出在该区间内至少存在一点的导函数值为零。不明白你所说的求导再代入是什么意思。