Question

偏导连续与全微分存在的关系？

如图所示

Answer 1

选A。

全微分若存在，偏导数必须存在；

而反之偏导数都存在，全微分不一定存在

所以二者的关系是全微分存在是偏导数连续的。

充分不必要条件，那么反之偏导数连续是全微分存在的必要不充分条件，选择A。

x方向的偏导

设有二元函数 z=f(x,y) ，点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ，相应地函数 z=f(x,y) 有增量（称为对 x 的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在，那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数，记作 f'x(x0,y0)或函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数，实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。

Answer 2

选A。

全微分若存在，偏导数必须存在；

而反之偏导数都存在，全微分不一定存在

所以二者的关系是全微分存在是偏导数连续的。

充分不必要条件，那么反之偏导数连续是全微分存在的必要不充分条件，选择A。

导数和偏导数的区别：

一、定义不同

导数，是对含有一个自变量的函数进行求导。

偏导数，是对含有两个自变量的函数中的一个自变量求导。

二、几何意义不同

函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在点P0（x0,f（x0））处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。

偏导数 f'x(x0,y0) 表示固定面上一点对 x 轴的切线斜率；偏导数 f'y(x0,y0) 表示固定面上一点对 y 轴的切线斜率。

高阶偏导数：如果二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 f'x(x,y) 与 f'y(x,y) 仍然可导，那么这两个偏导函数的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy。

Answer 3

全微分若存在，偏导数必须存在
而反之偏导数都存在
全微分不一定存在
所以二者的关系是
全微分存在是偏导数连续的
充分不必要条件
那么反之偏导数连续是全微分存在的必要不充分条件，选择A

Answer 4

偏导数连续，函数可微，全微分存在，所以偏导数连续可以推出全微分存在，而全微分存在推不出偏导数连续，所以偏导数连续是全微分存在的充分条件；
可微和偏导数存在的关系是，可微可以推出偏导数存在，而偏导数存在推不出可微，所以偏导数存在是可微的必要条件;
可微可以推出全微分存在，但反过来不成立。

Answer 5

偏导数连续必定可微
反之不成立，所以应该是A。